Методы построения. «Короткий путь»

Объяснив, как получено изображение с помощью метода плана и фасада,  Дюрер переходит к описанию “короткого пути” решения той же задачи. Этот метод не верен и вызвал множество комментариев со стороны историков искусства и математики. Все они отмечают, что художник сделал ошибку, но описание ее сути разнятся. Причина в том, что инструкции Дюрера неясны и в некоторых случаях не соответствуют иллюстрациям. Разберем отдельно описания и иллюстрации ко второму методу.

В «Руководстве» подробно описано построение всей группы предметов. Разберем построение верхней грани платформы, так как оно является основой конструкции и представляет из себя показательный пример применения второго метода Дюрера.

По описанию, суть метода можно следующим образом. Чтобы найти положение дальней вершины горизонтально расположенного квадрата с одной стороной, параллельной основанию картины, необходимо восстановить перпендикуляр из одной из его ближних вершин и соединить вершины с точкой дистанции. Пересечение данных вспомогательных линий даст дальнюю вершину квадрата.

Описание построения сводится к следующему алгоритму:

  1. Задаем передний край квадратного основания.
  2. Произвольно задаем главную точку картины, которую Дюрер называет в данном случае “ближний глаз” и соединяем ее с заданными вершинами
  3. Задаем точку, называемую в тексте «второй глаз» [1] и «дальний глаз», указано, что она располагается на горизонтали, проведенной через главную точку картины на расстоянии равном расстоянию от картины до наблюдателя, соответственно, по факту, она является точкой дистанции, но не используется как таковая в построениях.
  4. Восстанавливаем перпендикуляр к передней стороне платформы из ее ближней к точке дистанции вершины[2].
  5. Проводим прямые через заданные вершины квадрата и точку «дальнего глаза» («Проведи из этого глаза две прямые линии в оба конца сделанной ранее линии»)
  6. Находим точку пересечения этого перпендикуляра с одной из прямых, соединяющих «дальний глаз» и заданные вершины. Через эту точку проводим горизонтальную прямую, часть которой является искомой дальней стороной платформы.
Рис. 6. а. Метод «короткого пути» по описанию, на основе иллюстрации 59 из «Руководства» Дюрера 1525г. Обозначения главной точки картины (Р) и точки дистанции (D) добавлены. Справа – построения по тому же алгоритму, с измененными параметрами, позволяющими лучше понять суть метода.
1.    Задаем передний край gf квадратного основания gfbc
2.    Произвольно задаем главную точку картины, (Р), соединяем ее с заданными вершинами g и f, определяя боковые стороны платформы.
3.              Задаем точку D на горизонтали, проведенной через главную точку картины на расстоянии равном расстоянию от картины до наблюдателя.
4.              Восстанавливаем перпендикуляр (a) к передней стороне платформы из вершины g.
5.              Проводим отрезки gD, fD
6.              Находим точку CC — пересечения этого перпендикуляра a с gD. Через эту точку проводим горизонтальную прямую, часть которой является искомой дальней стороной платформы.

В своих иллюстрациях Дюрер не следует своим же инструкциям.

Во-первых, он проводит линию из дальнего глаза только к дальней от него вершине квадрата, а не к двум, как в описании. Во-вторых, он располагает перпендикуляр к передней стороне квадрата так, что он проходит или практически проходит через главную точку картины. То есть, по факту, находит положение проекции дальнего угла платформы как пересечение перпендикуляра, опущенного из главной точки картины на продолжение передней стороны квадрата и его диагонали (линии, соединяющей переднюю вершину и точку дистанции)

Метод «короткого пути», как он изображен, на основе иллюстрации 59 из «Руководства» Дюрера 1525г. Обозначения главной точки картины (Р) и точки дистанции (D) добавлены. В данном случае алгоритм построений тот же, но перпендикуляр (а) опущен из главной точки картины.

Обе версии метода Дюрера не верны с точки зрения математики, но оба содержат компоненты верного построения. Обе версии отсылают к трудам Альберти.

Описание метода имеет много общего с интерпретацией построений Альберти, сделанной Пьеро Дела Франческа. А именно, описание метода Дюрера совпадает с описаниями построений Пьеро во всем кроме способа построения точки дистанции, эквивалент которой у Дюрера – дальний или второй глаз, а у Пьеро – точка Альберти.

Метод «короткого пути» по описанию, на основе иллюстрации 59 из «Руководства» Дюрера 1525г.  и метод Франческа, примененный к той же задаче. Франческа так же восстанавливает перпендикуляр (а), но далее делает построения, пропущенные Дюрером: находит точка Альберти (А), откладывая от точки пересечения перпендикуляра с линией горизонта расстояние равное дистанционному.

В иллюстрации к своему второму методу Дюрер использует перпендикуляр, опущенный из главной точки картины, достаточно редкий элемент построения в его время. Этот элемент встречается в интерпретациях метода Альберти в работе Луки Гаурико (лат. Lucas Gauricus 1475 — 1558), опубликованной в 1504 и Ж. Кузена (Jean Cousin, 1503-1560). При такой схеме построений перпендикуляр является изображением плоскости, перпендикулярной картинной и проходящей через главный луч зрения. В этом случае точка дистанции будет располагаться на расстоянии от него равном расстоянию от наблюдателя до картинной плоскости. В этом построения Дюрера верны, как и построения прямых, на которых лежат боковые стороны квадрата.  Однако в дальнейших действиях есть ошибка. Чтобы найти положение дальней стороны квадрата следовало отложить расстояние, равное его стороне от точки пересечения перпендикуляра из главной точки картины, опущенного на продолжение передней стороны квадрата и этого продолжения, соединить полученную точку с точкой дистанции и провести горизонтальную прямую через пересечение ее и перпендикуляра. На этой прямой будет лежать искомая сторона квадрата.

Метод «короткого пути» по иллюстрации, на основе иллюстрации 59 из «Руководства» Дюрера 1525 и метод перпендикуляра.
При использовании техники перпендикуляра точка D строится также как у Дюрера и выполняет ту же функцию. Однако,    чтобы найти положение стороны bc следовало отложить расстояние, равное gf от точки (m) пересечения перпендикуляра (a) и продолжения стороны gf соединить полученную точку (k) с точкой D и провести горизонтальную прямую через пересечение kd и перпендикуляра a (на рисунке – точка СС). На этой прямой будет лежать искомая сторона квадрата — d

Следует подчеркнуть, что в работе Дюрера положение элементов на иллюстрации выбрано таким образом, что разница между изображением и описанием не бросается в глаза, в частности, главная точка картины находится практически над вершиной квадрата, из которой, в соответствии с описанием, необходимо восстановить перпендикуляр. В следствии чего, перпендикуляр, восстановленный из этой точки и перпендикуляр, опущенный из главной точки картины, практически совпадают. Если бы он выбрал более типичное положение главной точки картины, близкое к центральному, разница между описанием и изображением была бы более заметная. Что и показано в приложении к данной работе.

Так же нужно подчеркнуть, что несмотря на утверждение, что этот путь позволит «сразу внести вышеописанную вещь в картину в перспективе», для определения ряда параметров используются ортогональные проекции проекций.

Таким образом, анализ описания и иллюстраций ко второму методу Дюрера дает основания полагать, что художник был знаком в той или иной форме с разными типами построений, практиковавшихся в его время. Но, разрабатывая свой метод соединил в не рациональной комбинации отдельные шаги из разных алгоритмов[3]. Более того, К. Андерсон утверждает, что весьма сомнительно, что иллюстрации ко второму методу Дюрера были получены в следствии его применения. Вероятнее всего, за основу было взято изображение, полученное методом плана и фасада, к которому были добавлены линии построения, соответствующие второму методу. ( В пользу предположения говорит то, что результаты построения с применением двух методов, описанных художником, не могли совпасть и вряд ли Дюрер этого не заметил. Тем не менее, есть две иллюстрации, к двум методам, с изображением, совпадающем при наложении. (ил. 57 и 60)


[1] Stell ein ander aug auf die seyte in der weyte wie de bey dem for beschubne grund stet / aber glehch in der hoch wie das neher aug.

[2] Ausz disem aug zeuch zwo gerad linien an bede ort der fürgelegten linien. Darnach reysz ein aufrechte lini .aa.bb. die das forder eck anrürt. [Dürer 1525]

[3] Однако среди исследователей нет однозначного мнения по данному вопросу, так Матвиевская считает, что «короткий путь» — это «узаконенная конструкция» Альберти